Методы нелинейной математической физики. Учебное пособие

Предисловие
Глава 1
Нелинейные математические модели
1.1. Уравнение Кортевега-де Вриза для
описания волн на воде
1.2. Иерархия уравнений Кортевега-де Вриза
1.3. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили
1.4. Модель для описания возмущений в
цепочке одинаковых масс
1.5. Иерархия модифицированного уравнения
Кортевега-де Вриза
1.6. Уравнение Буссинеска
1.7. Фазовая и групповая скорости волн
1.8. Нелинейное уравнение Шредингера для
огибающей волнового пакета
1.9. Уравнение Гинзбурга-Ландау
1.10. Уравнение Синус-Гордона для описания
дислокаций в твердом теле
1.11. Нелинейное уравнение переноса и
уравнение Бюргерса
1.12. Иерархия уравнения Бюргерса
1.13. Уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса
для описания волн в вязкоэластичной трубке
1.14. Уравнение Курамото-Сивашинского для
описания волновых процессов
1.15. Уравнения для описания волн в жидкости
с пузырьками газа
1.16. Уравнение для описания волн в жидкости
с конвекцией
1.17. Уравнение пятого порядка для описания
волн под ледяным покровом
1.18. Нелинейное уравнение шестого порядка для
описания процессов
турбулентности
1.19. Уравнение
Колмогорова-Петровского-Пискунова
1.20. Уравнение Бюргерса-Хаксли
1.21. Уравнения фильтрации газа в пористой
среде
1.22. Нелинейное уравнение теплопроводности
1.23. Модель Хенона-Хейлеса
1.24. Система Лоренца
Глава 2
Элементы группового анализа дифференциальных
уравнений
2.1. Однопараметрическая группа
преобразований Ли
2.2. Касательное векторное поле. Уравнения
Ли
2.3. Инварианты. Инфинитезимальный
оператор группы преобразований
2.4. Инвариантные уравнения
2.5. Групповой анализ дифференциальных
уравнений
2.6. Группы преобразований, допускаемые
обыкновенным дифференциальным уравнением 2-
го порядка
2.7. Интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений, допускающих
группы преобразований
2.8. Группы преобразований для линейного
уравнения теплопроводности
2.9. Группы преобразований для нелинейного
уравнения теплопроводности
2.10. Группы преобразований для уравнения
Кортевега-де Вриза
Глава 3
Аналитические свойства нелинейных
дифференциальных
уравнений
3.1. Классификация особых точек функций
комплексной переменной
3.2. Неподвижные и подвижные особые точки
3.3. Уравнения, не имеющие решений с
критическими подвижными особыми точками
3.4. Задача Ковалевской о волчке
3.5. Определение свойства Пенлеве и
уравнения Пенлеве
3.6. Второе уравнение Пенлеве как модель
электрического поля в полупроводниковом диоде
3.7. Алгоритм Ковалевской анализа
дифференциальных уравнений
3.8. Локальные представления решений
дифференциальных уравнений
3.9. Трансцендентная зависимость решений
первого уравнения Пенлеве
3.10. Преобразования Бэклунда для решений
второго уравнения Пенлеве
3.11. Рациональные и специальные решения
второго уравнения Пенлеве
3.12. Полиномы Яблонского-Воробьева
3.13. Дискретные уравнения Пенлеве
3.14. Пары Лакса для уравнений Пенлеве
3.15. Высшие аналоги уравнений Пенлеве
3.16. Алгоритм Конта-Форди-Пикеринга для
анализа уравнений на тес Пенлеве
3.17. Применение алгоритма
Конта-Форди-Пикеринга
3.18. Автомодельные решения уравнения
Кортевега-де Вриза
3.19. Автомодельные решения уравнения
Синус-Гордона
3.20. Тест Абловица-Рамани-Сигура для
нелинейных уравнений в частных производных
3.21. Метод Вайса-Табора-Карневейля для
анализа нелинейных уравнений
3.22. Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса
методом Вайса-Табора-Карневейля
3.23. Анализ уравнения Кортевега-де Вриза
методом Вайса-Табора-Карневейля
3.24. Построение пары Лакса для уравнения
Кортевега-де Вриза методом
Вайса-Табора-Карневейля
Глава 4
Методы решения интегрируемых нелинейных
уравнений
в частных производных
4.1. Общие, частные и точные решения
дифференциальных уравнений
4.2. Общее решение уравнения Риккати
4.3. Простейшие решения уравнения Бюргерса
4.4. Решение задачи Коши для уравнения
Бюргерса
4.5. Точные решения уравнений иерархии
Бюргерса
4.6. Автомодельные решения уравнений
иерархии Бюргерса
4.7. Простейшие решения уравнения
Кортевега-де Вриза
4.8. Преобразование Миуры и пара Лакса для
уравнения Кортевега- де Вриза
4.9. Законы сохранения для уравнения
Кортевега-де Вриза
4.10. Построение иерархии уравнений
Кортевега-де Вриза
4.11. Отображения и преобразования Бэклунда
4.12. Преобразования Бэклунда для уравнения
Кортевега-де Вриза
4.13. Метод обратной задачи рассеяния
решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де
Вриза
4.14. Метод Хироты для нахождения
солитонных решений уравнения Кортевега-де
Вриза
4.15. Решения уравнения Кортевега-де Вриза
пятого порядка в переменных бегущей волны
4.16. Солитонные, рациональные и
специальные решения уравнений иерархии
Кортевега-де Вриза
4.17. Простейшие решения модифицированного
уравнения Кортевега-
де Вриза
4.18. Построение автомодельных решений
модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза
	
4.19. Преобразования Бэклунда для решений
модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза
4.20. Применение метода Хироты для
построения солитонных решений
модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза
4.21. Уединенные волны, описываемые
нелинейным уравнением Шре-дингера, и групповой
солитон
4.22. Преобразования Бэклунда для решений
нелинейного уравнения Шредингера
4.23. Метод обратной задачи рассеяния для
решения задачи Коши нелинейного уравнения
Шредингера
4.24. Применение метода Хироты для
нелинейного уравнения Шредингера
4.25. Простейшие решения уравнения
Синус-Гордона и топологический солитон
4.26. Преобразования Бэклунда для уравнения
Синус-Гордона
4.27. Метод обратной задачи рассеяния для
решения задачи Коши для уравнения
Синус-Гордона
4.28. Метод Хироты для построения
солитонных решений уравнения Синус-Гордона
Глава 5
Методы построения точных решений нелинейных
дифференциальных уравнений
5.1. Метод укороченных разложений для поиска
точных решений нели
нейных дифференциальных уравнений
5.1.1. Точные решения уравнения
Бюргерса-Хаксли
5.1.2. Точные решения обобщенного уравнения
Кортевега-де Вриза 5.L3. Точные решения
уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса
5.2. Упрошенный метод укороченных
разложений для поиска точных
решений нелинейных дифференциальных
уравнений
5.2.1. Точные решения уравнения
Колмогорова-Петровского-Пискунова
5.2.2. Точные решения уравнения Гарднера с
учетом диссипации
5.2.3. Точные решения уравнения для
нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа
5.3. Метод гиперболического тангенса для
поиска точных решений
нелинейных дифференциальных уравнений
5.3.1. Точные решения нелинейного уравнения
пятого порядка
5.3.2. Точные решения уравнения
Гинзбурга-Ландау
5.3.3. Точные решения уравнения Островского в
переменных бегущей волны
5.3.4. Простейшее решение уравнения для
генератора с жестким возбуждением
5.4. Метод простейших уравнений для поиска
точных решений
5.4.1. Уединенные волны, описываемые
уравнением Курамото-Сивашинского
5.4.2. Периодические волны уравнения
Курамото-Сивашинского
5.4.3. Уединенные волны на поверхности
жидкости с конвекцией
5.4.4. Периодические волны на поверхности
жидкости с конвекцией
5.5. Применение многоугольников при
построении точных решений
5.5.1. Автомодельные решения уравнения
Кортевега-де Вриза пятого порядка
5.5.2. Автомодельные решения
модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза
пятого порядка
5.5.3. Уединенные волны нелинейного
эволюционного уравнения шестого порядка
5.6. Метод G'/G-разложения для поиска
точных решений
5.7. Метод экспоненциальных функций для
поиска точных решений
5.8. Аналитические свойства системы
уравнений Лоренца
5.8.1. Тест Пенлеве для системы уравнений
Лоренца
5.8.2. Первые интегралы системы уравнений
Лоренца
5.8.3. Точно решаемые случаи системы Лоренца
5.8.4. Частные решения системы уравнений
Лоренца
5.9. Аналитические свойства системы
уравнений Хенона-Хейлеса
5.9.1. Тест на свойство Пенлеве для системы
уравнений Хенона-Хейлеса
5.9.2. Точные решения системы уравнений
Хенона-Хейлеса
5.10. Решения обобщенных нелинейных
эволюционных уравнений с
произвольной степенью нелинейности
5.10.1. Точные решения обобщенного уравнения
Бюргерса
5.10.2. Точные решения обобщенного уравнения
Кортевега- де Вриза-Бюргерса
5.10.3. Точные решения обобщенного уравнения
Курамото-Сивашинского
5.10.4. Точные волновые решения обобщенного
эволюционного уравнения пятого порядка
5.11. Автомодельные решения задач
нелинейной теплопроводности
5.11.1. Автомодельные решения задачи о
распространении тепловой волны от мгновенного
точечного источника
5.11.2. Приближенные решения задачи
нелинейной теплопроводности при заданной
температуре на границе
5.11.3. Приближенные решения задачи
нелинейной теплопроводности при
экспоненциальной зависимости температуры от
времени на границе
5.11.4. Автомодельные решения одномерной
задачи при заданном потоке на границе
5.12. Применение вычислительной среды MAPLE
для поиска точных решений нелинейных
дифференциальных уравнении
5.13. Типичные ошибки, возникающие при
построении точных решении нелинейных
дифференциальных уравнений
Предметный указатель
Именной указатель
Литература