Теория функций вещественной переменной. Учебник для вузов

Из предисловия к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Глава I. Бесконечные множества
§ 1. Операции над множествами
§ 2. Взаимнооднозначное соответствие
§ 3. Счетные множества
§ 4. Мощность континуума
§ 5. Сравнение мощностей
Глава II. Точечные множества
§ 1. Предельная точка
§ 2. Замкнутые множества
§ 3. Внутренние точки и открытые множества
§ 4. Расстояния и отделимость
§ 5. Структура открытых и замкнутых
ограниченных множеств
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого
множества
Глава III. Измеримые множества
§ 1. Мера ограниченного открытого множества
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества
§ 3. Внешняя и внутренняя меры ограниченного
множества
§ 4. Измеримые множества
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения
§ 6. Класс измеримых множеств
§ 7. Общие замечания о проблеме меры
§ 8. Теорема Витали
Глава IV. Измеримые функции
§ 1. Определение и простейшие свойства
измеримой функции
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций
§ 3. Последовательности измеримых функций.
Сходимость по мере
§ 4. Структура измеримых функций
§ 5. Теоремы Вейершграсса
Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной
функции
§ 1. Определение интеграла Лебега
§ 2. Основные свойства интеграла
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
§ 5. Восстановление первообразной функции
Глава VI. Суммируемые функции
§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции
§ 2. Суммируемые функции любого знака
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Глава VII. Функции, суммируемые с квадратом
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма
§ 2. Сходимость в среднем
§ 3. Ортогональные системы
§ 4. Пространство 12
§ 5. Линейно независимые системы
§ 6. Пространства Lp и 1р
Глава VIII. Функции с конечным изменением.
Интеграл Стилтьеса
§ 1. Монотонные функции Л
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование
монотонной функции
§ 3. Функции с конечным изменением
§ 4. Принцип выбора Хелли
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением
§ 6. Интеграл Стилтьеса
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла
Стилтьеса
§ 8. Линейные функционалы
Глава IX. Абсолютно непрерывные функции.
Неопределенный интеграл Лебега
§ 1. Абсолютно непрерывные функции
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно
непрерывных функций .
§ 3. Непрерывные отображения
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная
непрерывность
§ 7. Добавления к теории функций с конечным
изменением и интегралов Стилтьеса
§ 8. Восстановление первообразной функции
Глава X. Сингулярные интегралы.
Тригонометрические ряды. Выпуклые функции
§ 1. Понятие сингулярного интеграла
§ 2. Представление функции сингулярным
интегралом в заданной точке
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических
рядов и рядов Фурье
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции
§ б. Единственность разложения функции в
тригонометрический ряд
Глава XI. Точечные множества в двумерном
пространстве
§ 1. Замкнутые множества
§ 2. Открытые множества
§ 3. Теория измерения плоских множеств
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения
§ 5. Связь меры плоского множества с мерами его
сечений ....
Глава XII. Измеримые функции нескольких
переменных и их интегрирование
§ 1. Измеримые функции. Распространение
непрерывных функций .
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл
§ 3. Теорема Фубини
§ 4. Перемена порядка интегрирований
Глава XIII. Функции множества и их применения в
теории интегрирования
§ 1. Абсолютно-непрерывные функции множества
§ 2. Неопределенный интеграл и его
дифференцирование
§ 3. Обобщение полученных результатов
Глава XIV. Трансфинитные числа
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы
§ 2. Вполне упорядоченные множества
§ 3. Порядковые числа
§ 4. Трансфинитная индукция
§ 5. Второй числовой класс
§ 6. Алефы
§ 7. Аксиома и теорема Цермело
Глава XV. Классификация Бэра
§ 1. Классы Бэра
§ 2. Непустота классов Бэра
§ 3. Функции 1-го класса
§ 4. Полунепрерывные функции
Глава XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега
§ 1. Введение
§ 2. Определение интеграла Перрона
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его
обобщение
§ 7. Узкий интеграл Данжуа
§ 8. Теорема Г. Хаке
§ 9, Теорема П. С. Александрова - Г. Ломана
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа
Глава XVII. Функции с неограниченными областями
задания
§ 1. Мера неограниченного множества
§ 2. Измеримые функции
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом
§ 5. Функции с конечным изменением. Интегралы
Стилтьеса
§ 6. Неопределенные интегралы и абсолютно
непрерывные функции множества
Глава XVIII. Некоторые сведений из
функционального анализа
§ 1. Метрические и, в частности, линейные
нормированные пространства
§ 2. Компактность
§ 3. Условия компактности в некоторых
пространствах
§ 4. Банаховский .принцип неподвижной точки" и
некоторые его приложения
Добавления
I. Длина дуги кривой
II. Пример Штейнгауза
III. Некоторые дополнительные сведения о
выпуклых функциях
Дополнения. Теорема Хаусдорфа